矩陣有非零解的條件:線性方程組非零解條件[朗讀]

設係數矩陣a是m行n列1.r(a)<n2.a的列向量組線性相關3.若m=n,則|a|=0。

齊次線性方程組ax=0有非零解的充分必要條件是係數矩陣的秩小於未知量的個數.本題,係數矩陣b是3*5矩陣,b的秩小於等於3,所以小於未知量個數5,所以bx=0有非零解。

按矩陣理論,齊次線性方程組係數矩陣的秩不大於未知數的個數,當等於未知數的個數時,不但方程個數與未知數個數相等,而且說明各方程獨立,即每一個方程都不能由其他方程代替,即此時矩陣滿秩.按方程組理論,解只可能有一個,這就只能是零解.當齊次線性方程組係數矩陣的秩小於未知數的個數時,說明獨立的方程比未知數的個數少,即一個或幾個方程可由其他方程推出或代替,這時設想某個或某幾個未知數取任意的固定值,從而由其他方程解出其他未知數(使得在較小的規模下未知數的個數與方程個數相等),這意味著方程組有非零解。

必要性:假設|a|不為0,則n階矩陣a可逆,ax=0兩邊同時左乘a逆得x=0,即說明x只有0解,與條件矛盾,故|a|=0充分性:將a寫成列向量的形式,a=[a1,a2,an],其中ai為a的第i列,同時x也寫成向量形式,x=[x1,x2,xn]t則ax=0可表示成x1a1+x2a2+xnan=0因為|a|=0,所以a的秩小於n,所以a的列向量線性相關,故存在不全為0的一組數x1,x2,,xn,使得x1a1+x2a2+xnan=0所以ax=0有非零解這道題在線性代數裡算比較基礎的,建議你多看看書,線性代數好多題證明要用到線性相關的知識。

注意你說的是非零解.這道題應該選第一個.而且那樣的方程總是有零解的.把a看成n個列向量組成,比如a1,a2,,an,假設x的分量是x1,x2,,xn,那麼ax可以寫成a1,a2,,an的線性組合,組合係數就是那些x的分量,即:ax=x1a1++xnan.由此很明顯地看出來,ax=0有非零解的充分必要條件是0可以寫成那些列向量的非平凡的線性組合(也就是組合係數不全為零的線性組合),而後者就等價於說a的列向量線性相關.補充:那樣的方程只有零解的充要條件才是b。