向量組線性相關的充要條件:向量組線性相關的條件[朗讀]

向量組矩陣的秩就是向量組的極大無關線性組個數,因為矩陣的初等變換不改變秩,若一個向量不在極大無關線性組內,必可由無關向量組表出,經過初等變換可變為0所以矩陣內的極大無關線性組個數必為秩.且行秩和列秩以及秩都為此個數.所以若矩陣不滿秩,即表明不是所有的向量組都無關,即存在相關向量組,又不滿秩行列式為0,證出。

a1,a2,an線性相關的充要條件是|a|=0a1,a2,an線性相關則它不為滿秩;不是滿秩則|a|=0不為滿秩即|a|=0,則a1,a2,an線性相關。

證明方式如下:假設向量組a線性相關,則有不全為0的數k1,k2,……,km使k1a1+k2a2+……+kmam=0.因為k1,k2,……,km不全為0,不妨設k1不等於零.所以a1=-1(k2a2+。

知識點:向量組a1,,as線性無關的充要條件是向量組的秩等於s.r(a)=m,所以a的行向量組的秩為m.而a有m行,所以a的行向量組線性無關.r(a)=m,所以a的列向量組的秩為m.而a有n行,m

根據秩的定義,r是a的行或者列向量組的極大無關組的向量的個數.r=n時候極大無關組向量個數為n,所以a的向量組都是線性無關的所以滿秩是向量組線性無關的充要條件。