求微分方程滿足初始條件的特解:如何求微分方程的特解[朗讀]

8,由特徵方程知:x^2-4x+3=0,兩個根是x2=1,x2=3所以其解為y=c1e^x+c2e^3x,x=o,y=6=c1+c2y'=c1e^x+3c2e^3x,x=0,y'=10=c1+3c2解得:c1=4,c2=2y=4e^x+2e^3。

e^x/(1+e^x)dx=siny/cosydy兩邊積分,有左邊:1/(1+e^x)d(1+e^x)=ln(1+e^x)右邊:-1/cosyd(cosy)=-ln(cosy)+c=ln(1/cosy)+c左邊=右邊,有1+e^x=c/cosy即(1+e^x)/cosy=c

(1)y''=1/y^3令y'=p(y),則p*dp/dy=1/y^3,p*dp=dy/y^3,兩邊積分,1/2*p^2=-1/2*1/y^(c1*x+c2)^2=1,這是個雙曲線方程(2)y'''=e^(ax)d(y＂)=e^(ax)dxy＂=e^(ax)/a。

y''+4y=sinx特徵方程r^2+4=0r=±2i齊次方程通解為y=c1cos2x+c2sin2x設特解為y=asinx+bcosxy'=acosx-bsinxy''=-asinx-bcosx代入原方程得-asinx-bcosx+4(asinx+bcosx)=sinx

求微分方程滿足初始條件的特解dy/dx=-(x/y),y=▏(x=4)=0解:分離變量得:ydy=-xdx,積分之得y²/2=-x²/2+c,當x=4時y=0,故有-8+c=0,c=8故得特解y²=-x²+16。