求微分方程滿足初始條件的特解:如何求微分方程的特解[朗讀]

解:∵(x-siny)dy+tanydx=0==>xdy+tanydx-sinydy=0==>xcosydy+sinydx-sinycosydy=0(等式兩端同乘cosy)==>d(xsiny)-d((siny)^2)/2=0==>xsiny-(siny)^2/2=c/2(c是常數)==>(2x-siny)siny=c∴原方程的通解是(2x-siny)siny=c於是,把y(1)=π/6代入通解,得c=3/4故原方程滿足所給初始條件的特解是(2x-siny)siny=3/4。

求下列微分方程的通解或在給定初始條件下的特解1.(dy/dx)-y/x-1=0,y(e)=3e;解:令y/x=u,則y=ux;對x取導數得dy/dx=(du/dx)x+u,代入原式得:(du/dx)x+u-u-1=0。

特徵方程為r²-3r+2=0得r=1,2設特解y*=a,代入方程得:2a=5,得a=2.5故y=c1e^x+c2e^(2x)+2.5y(0)=c1+c2+2.5=1y'(0)=c1+2c2=2解得:c1=-5,c2=3.5故特解y=-5e^x+3.5e^(2x)+2.5。

先求出通解,之後把初始條件代入通解中,求出任意常數的值,把這個值替換到通解中的任意常數處,就得到特解了。

解:顯然,齊次方程y'+y/x=0的通解是y=c/x(c是積分常數)於是,根據常數變易法,設原方程的解為y=c(x)/x(c(x)是關於x的函數)∵y'=[c'(x)x-c(x)]/x²代入原方程,得[c'(x)x-c(x)]/x²+c(x)/x²=sinx/x==>c'(x)=sinx==>c(x)=c-cosx(c是積分常數)∴原方程的通解是y=(c-cosx)/x(c是積分常數)∵y(π)=1∴(c+1)/π=1==>c=π-1故原方程滿足初始條件y(π)=1的特解是y=(π-1-cosx)/x