矩陣可對角化的條件:矩陣可相似對角化的條件[朗讀]

定義20.1設a是數域f上n階矩陣,如果存e79fa5e98193e78988e69d8331333231393732在可逆陣p,使p-1ap為對角陣,那麼a稱為可對角化矩陣.並不是所有的。

對於n階矩陣a,其可對角化的充要條件是a有n個線性無關的特徵向量,具體點說,就是a要有n個互異特徵值,或者有n-m個互異特徵值和m重特徵值且這m個特徵值有m個特徵向量.另一種判別方法:實對稱矩陣必可對角化。

如果a有n個線性無關的特徵向量,設t=【a1,a2,,an】(a1,a2,,an線性無關,t可逆)則at=【入1a1,入2a2,,入nan】=tb(b為對角矩陣)t^(-1)at=b所以n階矩陣a能對角化的充要條件是a有n個線性無關的特徵向量。

a可對角化時,存在可逆矩陣p使得p^-1ap=diag(a1,..,an)則r(a)=r(p^-1ap)=rdiag(a1,,an)=a1,,an中非零元素的個數而a的特徵值即a1,,an所以r(a)等於a的非零特徵值的個數。

http://www.fjtu.com.cn/fjnu/courseware/0319/course/_source/web/lesson/chapter6/j2.htm以下將內容局部複製下來,詳見原網址.定理1階矩陣可對角化的充分必要條件是有個線性無關的特徵向量.若階矩陣定理2矩陣的屬於不同特徵值的特徵向量是線性無關的.推論1若階矩陣有個互不相同的特徵值,則可對角化定理5階矩陣可對角化的充分必要條件是:的每個特徵值對應的特徵向量線性無關的最大個數等於該特徵值的重數(即的每個特徵值對應的齊次線性方程組的基礎解系所含向量個數等於該特徵值的重數,也即的每個特徵子空間的維數等於該特徵值的重數).請保存網頁,仔細參考吧。