正定矩陣的充要條件:正定矩陣的充分條件[朗讀]

證明:假設實對稱陣a是正定陣,則a的特徵值{a1,a2,..,an}都是正的,而實對稱陣是正交相似於對角陣diag(a1,..,an),即有正交陣p使得a=p'diag(a1,a2,..,an)p=p'diag(√a1,√a2,,√an)·diag(√a1,√a2,,√an)p記q=diag(√a1,√a2,,√an)p,則a=q'q,即a與單位陣合同反之若a與單位陣合同,即存在可逆陣s,使得設a=s's.則對任意非零向量x,有x'ax=x's'sx=(sx)'(sx)>0∴a是正定的。