混合偏導數相等的條件:二階偏導數相等的條件[朗讀]

當兩個混合偏導數fxy與fyx都連續的時候,兩者相等.這是課本裡面的定理。

一階偏導數可導,不能保證二階混合偏導數連續.反例:分段函數,x^2+y^2≠0時,f(x,y)=xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2);x=y=0時,f(x,y)=0.二階混合偏導數連續,則二階混合偏導數相等。

充分條件不必要條件兩個偏導數都連續則兩個混合偏導數相等,這是定理但兩個混合偏導數相等推不出兩個偏導數都連續。

1、對於任何二元函數,只要二階可導,混導就一定相等.也就是說,二階混導的結果跟求導的順序無關.2、二階混導相等的證明,有兩種方法,a、根據偏導數的定義證明;b、運用導數中值定理證明.分別證明如下,如果看不清楚,請點擊放大:

你的上面的連結打開是其它「百度圖片」.二階混合偏導數相等的條件是兩個二階混合偏導數連續.關於它的證明可在幾乎所有的《數學分析》書上找到。