正定矩陣的充要條件:正定矩陣的充分條件[朗讀]

1.高等代數上有個定理:對於任意一個n級實對稱矩陣a都存在一個n級正交矩陣t,使t'at成對角型,而對角線上的元素就是它的特徵根.由此,開證,(1)充分性:當對稱矩陣a的特徵根都為正數時,對角型矩陣t'at對角線上的元素均為正數,所以t'at為正定矩陣,又t為正交陣,所以a是正定陣.(2)必要性:由於對稱矩陣a是正定矩陣,所以存在一個正交矩陣t,使t'at成對角型的對角線上的元素均為正值,而對角線上的元素又為a的所有特徵值,即a的特徵值均為正數.你好,希望能夠幫到你。

因為c可逆,所以對於任意的非零向量x,存在非零向量y,是的x=cy從而有,x^tax=(cy)^ta(cy)=y^tc^tacy=y^tey=y^ty>0,即證。

你好!a是正定矩陣a的特徵值全為正數a合同於單位陣a的順序主子式全為正.經濟數學團隊幫你解答,請及時採納.謝謝。

可以通過矩陣的行列變換加以證明若一個矩陣的順序主子式都為正則所有特徵值都大於0。

證明:假設實對稱陣a是正定陣,則a的特徵值{a1,a2,..,an}都是正的,而實對稱陣是正交相似於對角陣diag(a1,..,an),即有正交陣p使得a=p'diag(a1,a2,..,an)p=p'diag(√a1,√a2,,√an)·diag(√a1,√a2,,√an)p記q=diag(√a1,√a2,,√an)p,則a=q'q,即a與單位陣合同反之若a與單位陣合同,即存在可逆陣s,使得設a=s's.則對任意非零向量x,有x'ax=x's'sx=(sx)'(sx)>0∴a是正定的。