向量組等價的充要條件:如何判斷向量組等價[朗讀]

向量組等價,是向量組可以相互線性表示.與兩個向量組的最大無關組可以相互線性表示是充要條件.顯然,兩個向量組的秩相同,是兩個向量組的最大無關組可以相互線性表示的必要不充分條件.而兩個矩陣等價,只能推出這兩個向量組的秩相同,是兩個向量組最大無關組可以相互線性表示的必要條件。

向量組等價是指的第一個條件,課本上明確指出.而第二個a矩陣右乘一個可逆矩陣指的是向量組a經過初等列變化可以變成b,也就是二者列等價,只能保證二者的秩相等。

知識來點:向量組a,b等價的充要條件是r(a)=r(a,b)=r(b).因為源a組可由zdb組線性表示,所以r(b,a)=r(b)因為r(a)=r(b),所以r(a)=r(a,b)=r(b)所以兩個向量組等價。

首先,b組可由a組線性表示的充分必要條件是r(a)=r(a,b)這是因為a組的極大無關組也是{a,b}組的極大無關組同理,a組或由b組線性表示的充分必要條件是r(b)=r(a,b).故a和b等價的充要條件是r(a)=r(a,b)=r(b)。

首先,(a,b)表示矩陣a寫在左邊矩陣b寫在右邊,(b,a)表示矩陣b寫在左邊矩陣a寫在右邊.其次,雖然行中數值順序有變化,但是這個矩陣的每一列的數值從上至下順序未變.最後,用初等列變換求矩陣的秩,可以改變每一列的順序,矩陣的秩不變.綜上可知,r(a,b)=r(b,a)。