a可逆的充要條件:n階方陣可逆的充要條件[朗讀]

在線性代數中,給定一個n階方陣a,若存在一n階方陣b使得ab=ba=in,其中in為n階單位矩陣,則稱a是可逆的,且b是a的逆陣,記作a.若方陣a的逆陣存在,則稱a為非奇異方陣或可逆方陣.給定一個n階方陣a,則下面的敘述都是等價的:a是可逆的、a的行列式不為零、a的秩等於n(a滿秩)、a的轉置矩陣a也是可逆的、aa也是可逆的、存在一n階方陣b使得ab=in、存在一n階方陣b使得ba=in.a是可逆矩陣的充分必要條件是︱a︱≠0(方陣a的行列式不等於0)。

必要性:a可逆,則ax=0沒有非零解,即對任意非零p,均有ap≠0*p,從而a的特徵值不包含0充分性:a不含特徵值0,即對於任意非零p,均有ap≠0*p,從而ax沒有非零解,即a可逆。

n階方陣a可逆?|a|≠0?r(a)=n?a經過有限次初等變換可以化為e,即a等價於n階單位矩陣故a、b、d正確而a若正定,則|a|>0,故a可逆;但反之不成立如a=100?1,顯然a可逆,但由於|a|=-1。

a可逆的充要條件:1、|a|不等於0.2、r(a)=n.3、a的列(行)向量組線性無關.4、a的特徵值中沒有0.5、a可以分解為若干初等矩陣的乘積.矩陣a為n階方陣,若存。

先證明必要性:矩陣a可逆,則其n個行(或列)向量,必然線性無關(否則,線性相關,則必然導致矩陣的秩小於n,從而不可逆,得出矛盾!)因而構成n維向量空間的一組基.充分性:n個行(或列)向量,是n維向量空間的一組基,則顯然這n個向量線性無關,因此矩陣的行(或列)秩,等於n,則該n階可逆。