多元函數條件極值:多元函數求極值[朗讀]

第一句話「有條件的情況下求出的極值也是在整個定義域的極值」就錯了,在一定條件下求出的極值未必是整個定義域的極值.f(x,y,z)的極大值點(a,b,c)要滿足的條件是:對(a,b,c)的某去心鄰域內的任意點(x,y,z),f(x,y,z)如果(a,b,c)是f(x,y,z)在條件g(x,y,z)=0下的極大值點,要滿足:在(a,b,c)的某去心鄰域內且滿足g(x,y,z)=0的任意點(x,y,z),f(x,y,z)很明顯,後者不一定滿足前者的條件。

各個分量的偏百導數為0,這是一個必要條件.充分條件是這個多元函數的二階偏導數的行列式為正定或負定的.如果這個多元函數的二階偏導數的行列式是半正定的則需。

這是海塞矩陣適定性導致的,一元函數二階展開,類似一個二次函數,只需要判斷係數正負即二階導數函數值正負值就可以判斷極值性,而二元函數二階展開後,其實類似有一個二次型的,二次型的(正負)適定性就要用順序主子式也就是那個ac-b平方之類的去判定了。

不排除這種情況.如果出現這種情況,就是條件極值與無條件極值碰巧重合.z=q(x,y)+kp(x,y)∂z/∂x=∂q/∂x+k∂p/∂x∂z/∂y=∂q/∂y+k∂p/∂y∂z/∂k=p;k=0,∂z/∂x=∂q/∂x=0∂z/∂y=∂q/∂y=0。

這兩個條件一樣,ac-b^2>0時,f(x0,y0)是極值,a>0(或c>0),極小;a評論000。