條件數病態:條件數cond[朗讀]

這個沒什麼具體標準的,況且條件數和範數有關,雖然有範數等價定理,不同的範數得到的條件數還是會有一定波動,比如1-範數下正交陣的條件數一般大於1.如果一定要給個範圍,那麼習慣上可以用機器精度的一半來衡量,比如雙精度浮點數的精度大約是10^{-16},那麼條件數大於10^8就算比較壞了？

首先奇異和病態沒有必然的聯繫,良態、病態、條件數都要針對求解的問題而言,比如說矩陣求逆的性態和矩陣求特徵值的性態就完全是兩碼事在2-範數擾動的意義下,矩陣求逆或者解線性方程組的時候奇異矩陣可以認為是最病態(無限病態)的矩陣,因為它有零奇異值(注意,這個問題的性態體現在奇異值而不是特徵值)至於什麼樣的矩陣算病態,沒有絕對的標準,因為大和小是相對的概念通常病態與否也與實際計算的機器精度有關,比如ieee單精度下k=10^4算比較病態了,但在ieee雙精度下就算比較良態？

解線性代數方程組ax=b,若a的條件數(matlab中用cond(a)求a的條件數)很大,意味著原始數據a,b變化微小,也有可能引起解的極大變化,此時稱方程組是病態的.條件數是永遠大於等於1.條件數很大時,線性代數方程組有可能是病態的.條件數等於a的2範數乘以a逆的2範數.hilbert矩陣是非常著名的對稱正定的病態矩陣,經常用來檢驗算法的數值穩定性的好壞。

就是求它的係數矩陣與增廣矩陣的秩,係數矩陣為(1,6,2,2)(1,1,1,1)(4,-1,3,3)(2,-3,1,1)增廣矩陣為(1,6,2,2,6)(1,1,1,1,2)(4,-1,3,3,4)(2,-3,1,1,0)若兩個矩陣的秩相等,則有唯一解。

這個不是證明的,只是定義而已.當然前提是你知道任何相容範數定義的條件數都不小於1。