微分方程的初始條件:二階微分方程的3種通解[朗讀]

求微分方程滿足初始條件的特解dy/dx=-(x/y),y=▏(x=4)=0解:分離變量得:ydy=-xdx,積分之得y²/2=-x²/2+c,當x=4時y=0,故有-8+c=0,c=8故得特解y²=-x²+16。

首先為什麼要有初始條件?因為方程對時間有導數解微分方程,從某種意義上來說就是求積分而我們知道做不定積分的時候會出現一個常數c,初始條件就是用來定這個c？

2y''=3y^2設y'=py''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy所以2pdp/dy=3y^2即p^2=y^3+c在這裡,只要將y=1,p=1代入即可,不必管x即c=0即y'=±y^(3/2)同時注意到y'與y同號,便得到y'=y^(3/2)dy/y^(3/2)=dx-2y^(-1/2)=x+c'這時再代入x=-2,y=1,得到c'=0因此通解為x-2y^(-1/2)=0。

微分方程在給出的時候是有給初始的未知數的值,這個叫做初始條件,微分方程時其通解都包含有未知常數c,c可以是任意常數.這些未知常數是由微分方程的定解條件確定的,也就是把初始條件帶入之後得出的c的值.微分方程的最後的解既滿足微分方程又滿足定解條件.微分方程的定解條件分為兩類:一類是初始值條件一類是邊界值條件.當微分方程中的未知數的自變量是時間時,那麼定解條件是初始值條件;當自變量為空間變量(如空間位置)時,其定解條件為邊界條件.初始條件如:初始位移、初始速度等;邊值條件如彈性梁的簡支端、固定端的位移限制等.對於混合型的偏微分方程問題,兩種邊界條件可以都存在。

微分方程的特解是指滿足微分方程的一個解,它有很多個.滿足初始條件的特解是指既滿足微分方程,又滿足初始條件的那一個特解.求滿足初始條件的特解時,不是先求出整個的通解再代入初始條件,而是相反.往往是定出解的結構,用與微分方程對應的微分方程(例如對應的齊次微分方程)的通解作為通解的一部分,再找出本方程的一個特解,把二者相加求得本微分方程的通解.具體特解的求法,各不相同,有的假設成具有對應通解的形式,有的再加上某一函數,有的假設為一定形式.具體情況具體分析。