洛朗級數展開條件:洛朗級數展開步驟詳解[朗讀]

f(z)=1/5*[-z/(z²+1)+2/(z²+1)-1/(2-z)].因為1<|z|<2,所以|z/2|<1,|1/z²|<1.前兩項,把c包圍起來,在這個圓環內是全純的(解析的).的洛朗級數展開式在這個圓環內的。

∵(sinz)'=cosz=sin(π/2+z),(sinz)''=cos(π/2+z)=sin(2π/2+z),……,sinz的n階導函數(sinz)^(n)=sin(nπ/2+z).∴(sinz)^(n)丨(z=0)=0【n=2m】、=(-1)^m【n=2m+1】,其中,m=0,1,2,……,∞.∴sinz=z-z³/(3!)+……+[(-1)^m][z^(2m+1)]/(2m+1)!+…….其中丨z丨<+∞.供參考。

解:∵f(z)=(4z-5)/[(z-1)(z-2)]=1/(z-1)+3/(z-2)=-1/(1-z)-(3/2)/(1-z/2),而,當丨z丨<1時如e^z、sinz、cosz、ln(1+z)等等,來間接展開;更多是實數域的泰勒級數的「延展」。

從形式上看,洛朗級數有冪次為負數的項,而泰勒級數沒有.但這只是表面現象,這兩者本質上的不同在於,洛朗級數是在孤立奇點的鄰域的級數展開,它的定義域是一個環狀的區域:r洛朗級數的正則部分(也就是冪次非負的部分)是在|z|實際上,泰勒級數是更基本的.洛朗級數的正則部分就是這個孤立奇點附近的關於z的泰勒級數,而其主要部分則是無窮遠點附近的關於1/z的泰勒級數.也就是說洛朗級數是兩個泰勒級數的和。